Når det klekkes fra sit æg, er skallen på en bestemt krabbe 1 cm på tværs, når den er fuldt ud vokset ca. 10 cm hver nye onethird større end tidligere, hvor mange skaller d?

Lad os betegne størrelsen på Crab's Shell på hvert vækststadium som følger:

S1 =1 cm (oprindelig størrelse)

S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm

S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm

S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm

...

Vi kan observere et mønster her. Størrelsen på skallen på hvert trin opnås ved at tilføje 1/3 af den forrige trins størrelse.

Generelt kan størrelsen på skallen på det niende trin udtrykkes som:

Sn =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

For at bestemme antallet af skaller, som krabbeskurene (ekskl. Den indledende skal), er vi nødt til at finde værdien af n, som Sn ≥ 10 cm.

10 cm ≤ sn

10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

10 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

Vi kan genkende udtrykket inde i parenteserne som summen af en geometrisk serie med den første periode 1 og det fælles forhold 1/3. Summen af en geometrisk serie er givet af:

Sum =A1 / (1 - R), hvor A1 er den første periode, og R er det fælles forhold.

Tilslutning af A1 =1 og R =1/3, får vi:

Sum =1/(1 - 1/3) =3/2

Derfor,

10 cm ≤ S1 [3/2]

S1 ≥ (10 cm) * (2/3)

S1 ≥ 6,67 cm

Dette indebærer, at krabben kaster sin skal, når den når en størrelse på ca. 6,67 cm.

For at bestemme antallet af skur, er vi nødt til at finde værdien af N, således at Sn ≥ 6,67 cm.

6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

6,67 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(N-1)]

Da summen af den geometriske serie er 3/2, har vi:

6,67 cm ≤ S1 * (3/2)

S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)

S1 ≥ 4,45 cm

Dette betyder, at krabben kaster sin skal, når dens størrelse overstiger 4,45 cm.

Nu er vi nødt til at bestemme antallet af trin eller molt, som krabben gennemgår, før dens størrelse overstiger 4,45 cm.

Fra S1 =1 cm kan vi beregne de efterfølgende stadier som følger:

S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm

S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm

S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm

Vi kan se, at S4 er større end 4,45 cm. Derfor vil krabben kaste sin skal under overgangen fra tredje trin (S3) til fjerde fase (S4).

Så krabben vil have kastet 3 skaller (ekskl. Den indledende skal), når dens størrelse overstiger 10 cm.

Pet eremitkrebs